[2016년 가좌고]

--

[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {9n ^{2} +an+2} -3n=1}]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3.3점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 일차함수 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: (2,```3)]에서 만난다. [eqn: h(x)=lim_{n->inf} {{5left{f(x)right}^n+1}over {4x^n -left{g(x)right}^n}]일 때, [eqn: h(0)+h(2)]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: -20]	② [eqn: -15]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 20]

등비수열 [eqn: left{ left({x-1 over2}right)^n right}]와 등비급수 [eqn: sum_{n=1} ^{inf} {left({x-1 over 3}right)^2n]이 모두 수렴하기 위한 정수 [eqn: x]의 개수는? [3.7점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_{n=1} ^inf {(3^n a_n -1)}=2]일 때,
[eqn: lim_n->inf {{2 TIMES 9^-2 +9 timesa_n} over {a_n +3^-n+2 }}]의 값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 3 over 4]	② [eqn: 4 over 5]	③ [eqn: 5 over 7]

④ [eqn: 7 over 8]	⑤ [eqn: 9 over 10]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: 1 over{n+1} x+ 1overn y=1]의 [eqn: x]절편을 [eqn: x_n], [eqn: y]절편을 [eqn: y_n]이라 하자. [eqn: sum_n=1 ^inf {5 over {x_n rooty_n +y_n rootx_n}}]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항이 [eqn: 2]이고, 공비가 [eqn: 1 over 3]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{b_n right}]을 [eqn: b_n = sum_k=2n-1 ^inf a_k]로 정의할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 21 over 8]	② [eqn: 23over8]	③ [eqn: 25over8]

④ [eqn: 27 over8]	⑤ [eqn: 29 over8]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]이 있다. 각 변을 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 연결하여 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]을 제거한 부분에 색칠한 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 또 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]의 각 변을 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 연결하여 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 만들 때, 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 제거한 부분에 색칠한 그림을 [eqn: R_2]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf S_n]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->2 {f(x)=5}]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: g(x) != 0]이다.) [4.1점]

②

ㄱ. [eqn: lim_{n->2} {g(x) =1}]이면 [eqn: lim_x->2 {left{f(x)=g(x)right} =4}]이다.

ㄴ. [eqn: lim_{x->2} {f(x)g(x)=10}]이면 [eqn: lim_{x->2} {g(x)}]의 값은 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 2}{f(x) over g(x)}]가 존재하면 [eqn: lim_{x->2} {g(x)]의 값도 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 2} {{f(x)} over {x-2} =1], [eqn: lim_x->inf {f(x) over {x^2 +5x}=3]을 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=rootx]와 직선 [eqn: y= 1over2 x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{1}]이라 하자. 또, 곡선 [eqn: y= sqrt {x} (x>1)] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{2}]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 이 곡선을 따라 점 [eqn: rmA]에 한없이 가까워질 때, [eqn: rm {bar{PH _{1}} - bar{PH _{2}}} over {bar{H _{1} H _{2} ^{2}}}]의 극한값 [eqn: K]에 대하여 [eqn: 16K]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x^2 -3x]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= {cases{ax-1&```(x GEQ a)#f(x+1)&```(x<a)}}]
라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은? [3.7점]

①

(가) 방정식 [eqn: f(x)=a]는 열린 구간 [eqn: (0,```1)]에서

적어도 하나의 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다음은 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

④

ㄱ. [eqn: y=(f CIRCg)(x)]는 [eqn: x=-1]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim_x->-1- {f(x)g(x+3)=1]이다.

ㄷ. 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 [eqn: h(x)=f(x)-[x]]라 할 때,

[eqn: h(-1)+lim_x->0+ {h(x)=2}]이다. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다

크지 않은 최대의 정수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= cases{ lim_n->inf {(x^n +2ax+b)```(0<x<1)} # lim_n->inf { {x^n+1 + ax^n} over {x^n +1} `````````(x>1)}]가 양의 실수 전체의 집합에서 연속이고 [eqn: f(1)=5]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.4점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

임의의 양수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 부등식
[eqn: 2ax^2 +x+3 leq 3x^2 f(x) le 2ax^2 +x+5]
을 만족하고, [eqn: lim_x->inf {f(x)} =6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3.3점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 두 점 [eqn: (0,```2)]와 [eqn: (a,```f(a))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: 2a+a^2]이다. 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율은? [4.1점]

③

① [eqn: 11]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 37]

곡선 [eqn: y=x^2 +1] 위의 점 [eqn: (2,```5)]에서의 접선의 기울기는? [3.3점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다음은 함수 [eqn: f(x)=x- |x |]의 [eqn: x=0]에서의 연속성과 미분가능성을 보이는 과정이다. (가), (나), (다)에 들어갈 말로 알맞은 것은? [4.1점]

②

[eqn: f(0)=0]이고, [eqn: lim_{x->0} {f(x)}=lim_x->0 {(x- |x |)=0}]이므로

[eqn: lim_x->0 {f(x) =f(0)}]이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)=x- |x |]는 [eqn: x=0]에서 [eqn: BOX{``````(가)``````}]이다.

이때, [eqn: lim_x->0+ {{f(x)-f(0) over x-0 =lim_x->0+ {{x- | x|} overx-0}=lim_x->0+ {0 over x}=0]

[eqn: lim_{x->0-} {{f(x)-f(0) over x-0 =lim_x->0- {{x- | x|} overx-0}=lim_x->0- {box {``````(나)``````} over x}]

이므로 [eqn: f` prime (0)]이 [eqn: box {``````(다)``````}]

따라서 함수 [eqn: f(x)~]는 [eqn: x=0]에서 [eqn: box {``````(가)``````}]이지만 미분가능하지 않다.

	(가)	(나)	(다)
①	연속	[eqn: 2x]	존재한다.
②	연속	[eqn: 2x]	존재하지 않는다.
③	불연속	[eqn: 2x]	존재한다.
④	불연속	[eqn: -2x]	존재한다.
⑤	불연속	[eqn: -2x]	존재하지 않는다.

서술형

등비급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n =4], [eqn: sum_n=1 ^inf a_2n = 4over3]일 때,
[eqn: sum_n=1 ^inf ({a_n })^3]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

닫힌 구간 [eqn: [-2,```2]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x) = cases{x+2&```(-2 le x le 0) # -x+2&```(0<x le 2)]
이다. 좌표평면에서 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=k(x^2 -4)]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g(k)]라고 하자. 이 때, 함수 [eqn: g(k)]가 연속인 구간을 쓰고, 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: x!=0]인 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)=x^2 + x^2 over {x^2 +1} + x^2 over {(x^2 +1)}^2 + ...]
에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= {cases{f(x-1)&```(x != -2)#a&```(x=-2)}}]라 정의하자. 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: lim_x->2 {{f(x+3)-6} over{x^2 -4} =1]일 때, [eqn: f(5)]와 [eqn: f`'(5)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, 미분계수의 정의를 이용한 풀이를 서술할 것) [8.0점]

[2016년 가좌고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com